セキュリティソフトなどにより「わが家のなんでも情報６」からインターネットへの接続が不可となっているとが原因と思われます。
以下の手順で対応してください。

エラー発生時のデータフォルダの削除と再起動を行います。

1. 「わが家のなんでも情報６」を起動し、[サポート]−[サポート情報取得]ボタンで【サポート情報取得】画面を開きます。
2. 【サポート情報取得】画面以外のウィンドウを全て閉じます。
3. 【サポート情報取得】画面の「データフォルダ」行にある[開く]をクリックし、【NANDATA6】のエクスプローラ画面を開きます。
4. 「Panel」フォルダをダブルクリックで開きます。
5. 「weather0.xml」と「weather1.xml」を削除します。
   ※weather.xmlはお天気の設定が１つの場合「weather0.xml」しかありません。
   ※「wheather1.xml」「wheather0.xml」はお天気チェックのときに毎回作成され、削除しても再作成されます。
6. 全てのウィンドウを閉じた後、「わが家のなんでも情報６」を再起動します。
7. [パネル設定]の「時計」タブを開き、［インターネットを利用して時刻を合わせる］にチェックが入っているかを確認します。